BUON NATALE CON I FRATTALI

dicembre 13, 2009

Buon natale a tutti per quest’anno ci salutiamo e vi do appuntamento  nel 2010…..

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IL MONDO E LA GEOMETRIA PARLONO LO STESSO LINGUAGGIO

dicembre 13, 2009

Il mondo e la geometria parlano con lo stesso linguaggio?

Cari lettori, sono ormai i giunta alla fine del nostro  percorso e dopo tutti questi mesi  passati nel mondo della geometria posso affermare assolutamente di Sì!

Abbiamo già visto come la sezione aurea sia presente naturalmente nel creato e come la sua applicazione in ambito geometrico-matematico abbia dato origine ai più grandi capolavori della Storia dell’uomo…

Anche la geometria dei frattali è presente in natura e l’applicazione delle sue regole ha migliorato la nostra vita, si pensi all’applicazione che ha in ambito informatico,economico e non solo…

Sicuramente i grandi “Geometri” per  accorgesi di tutto questo hanno dovuto fare esperienza del mondo che li circondava e così attraverso i viaggi hanno potuto conoscere e creare nuove relazioni…

Osservare il mondo, sperimentarlo e tradurlo nelle attività umane è sicuramente una delle sfide più grandi…e questo hanno fatto i Matematici che hanno cambiato la vita di tutti noi!

novembre 23, 2009

Se Faccio Capisco

novembre 23, 2009

Se faccio capisco…l’utilizzo di semplici programmi d’animazione favoriscono nell’alunno la voglia di fare e manipolare la geometria, così che venga interiorizzata in modo naturale anche dagli alunni delle prime classi…come abbiamo già visto nel corso del nostro blog l’utilizzzo di sfondi integratori sono alla base per rendere “simpatica” la matematica…materia che da come emerge da alcune statistiche purtroppo viene ricordata troppo spesso in modo negativo.

Il programma “Pivot “è pensato con uno scopo didattico per migliorare le competenze “geometriche” dell’alunno, che attraverso l’utilizzo di “pivot”impara a migliorare le abilità di tipo logico-spaziale.

Con Pivot Stickfigure Animator è facile creare sequenze animate simili a cartoni, usando semplici modelli geometrici conosciuti. Tutto ciò che si deve fare è disegnare il primo personaggio e poi salvare i fotogrammi successivi in posizioni diverse.

 

 

 

 

I Frattali

novembre 22, 2009

Frattali:

Non è semplice dare una precisa definizione di frattale, poiché neanche lo stesso Mandelbrot ne ha data una. Possiamo però definire sommariamente il frattale come un oggetto geometrico caratterizzato da un principale elemento:

AUTO-SOMIGLIANZA: ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso rispetto al precedente; questo procedimento di “zoom” può proseguire all’infinito.  Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali:

  • pur essendo continue, non ammettono una tangente unica in alcun punto;
  • presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

 

L’esempio più semplice di frattale è la cosiddetta “curva di Koch”.

Il processo per ottenere una curva di Koch è piuttosto semplice: basta considerare un triangolo equilatero, dividere ciascun lato in tre parti uguali, considerare il terzo centrale di ciascuno come la base di un nuovo triangolo equilatero, e ripetere il processo all’infinito. Il risultato finale è una figura a forma di fiocco di neve, che ha un’area finita, ma un bordo infinito (ad ogni passo la lunghezza del bordo si moltiplica per 4/3). A causa della simmetrica iterazione del procedimento che lo definisce, il  bordo della figura ha la proprietà di essere auto-simile, e quindi tale figura può, a ragione, essere definita frattale, pur essendo stata ricavata nel 1904, circa settanta anni prima della formulazione della teoria di Mandelbrot.

Un comportamento così strano ha portato i matematici del primo Novecento a attribuire il nome di “mostruosità matematiche” a questa e ad altre curve. Ma le “curve-mostri” si generano in modo straordinariamente facile. Se i triangoli puntano all’interno invece che all’esterno (ovvero, se ad ogni passo li sottraiamo invece di aggiungerli) otteniamo la curva dell’anti-fiocco di neve, chiamato dai matematici flowsnake (i matematici amano i giochi di parole e si divertono a scambiarne le prime sillabe: in questo caso, da snowflake, fiocco di neve, si ottiene flowsnake).

Anche questa forma ha un perimetro esterno infinitamente lungo, che interseca se stesso infinite volte, ma l’area è solo 2/5 di quella del triangolo equilatero di partenza.

 

La stessa idea di aggiungere o sottrarre “pezzi” sempre più piccoli funziona anche con un quadrato o qualsiasi altro poligono. Risultati interessanti si ottengono dall’applicazione di questo procedimento a oggetti tridimensionali: dividendo ogni faccia di un tetraedro regolare in quattro triangoli equilateri e innalzando un piccolo tetraedro sul triangolo centrale di ciascuna faccia e continuando indefinitamente il procedimento, si ha l’analogo tridimensionale della curva di Koch, la cui superficie è infinita, ma racchiude un volume finito.

Altri esempi significativi e famosi di frattali sono la polvere di Cantor, il triangolo di Sierpinski e la spugna di Menger, applicazioni dello stesso procedimento su tre dimensioni diverse.

Musica frattale

Poiché i frattali sono funzioni matematiche, è possibile associarvi una rappresentazione sonora. L’effetto è meno diretto delle applicazioni visive, e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L’altezza e la durata di una nota sono scelte con lo stesso criterio con cui è scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l’auto-similarità che è così chiara nelle immagini.

Arte frattale

Nonostante le immagini qui riproposte possano sembrare semplici “effetti grafici” realizzati al computer, esse sono delle vere e proprie opere d’arte. Negli ultimi decenni sono nati vari movimenti artistici che hanno messo la teoria di Mandelbrot al centro della propria arte: ad esempio il gruppo dei Frattalisti, giovani artisti d’avanguardia, ha pubblicato nel 1997 il proprio Manifesto a Parigi, “Tutto brulica, vibra,sprizza, esulta, sobbalza, danza, volteggia, palpita, sfarfalla, turbina. Veniamo precipitati dentro vortici, ritmi e turbinii, come se la testa fosse dentro al cestello della lavatrice: tutto si muove, tutto gira e in tutte le direzioni”. Potremmo definirlo un Manifesto dai toni futuristi. Il Gruppo Internazionale d’ Arte frattale, con sede in Brasile, comprende artisti di ogni genere, perfino architetti; nella presentazione del gruppo, troviamo: “Senza copiare la natura, l’artista frattale riproduce quanto di più selvaggio, irrazionale e irregolare esista nella natura stessa.

Frattali e…Cinema

La geometria frattale e la computer grafica sono strettamente collegate tra loro. La grafica fornisce un comodo sistema per disegnare e studiare oggetti frattali, e la geometria frattale è un utile strumento per creare immagini al computer. Naturalmente, l’immagine che compare sul video non è un vero e proprio frattale: un computer che generi, ad esempio, un triangolo di Sierpinski non può mostrare i triangoli più piccoli dei punti elementari di luce – i pixel– di cui è composto lo schermo, mentre un triangolo di Sierpinski è pieno di triangoli ancor più piccoli.

La geometria frattale fornisce anche un modo elegante e semplice per disegnare realisticamente sullo schermo oggetti naturali.

Frattali naturali: una geometria… del cavolo!

Il Geo-indovinello

novembre 21, 2009

Siete  pronti ora vi pongo un indovinello….

 

Cosa hanno in comune un cavolo romano, un quadro,una musica, i mercati azionari,l’informatica e l’espansione dell’universo?

… Vi  arrendete…la risposta è :

… La matematica dei frattali, elaborata dal matematico Benoit Mandelbrot  negli anni ’70.

Ora vi chiederete ma cosa sono i Frattali…

La Sezione Aurea in Natura

novembre 8, 2009
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la sezione aurea in natura

novembre 8, 2009

LA SEZIONE AUREA IN NATURA

Cosa hanno in comune una galassia, l’accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti questi  presentano schemi riconducibili a quello della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.

Ecco qui rappresentata una serie  di esempi in cui l’espressione matematica della sezione aurea si manifesta nella bellezza e della eleganza della natura.L’elemento comune di tutte figure è rappresentato dalla spirale logaritmica detta anche “spirale aurea”, attraverso la quale lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere “secondo natura” in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile.

La sezione Aurea in Architettura

novembre 8, 2009

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La sezione Aurea nel Corpo umano

novembre 8, 2009
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Uomo Vitruviano "Leonardo da Vinci"

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Corbusier

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La nascita di Venere"Botticelli"